cos(ωt) ω ( ) 1 cos ω sin(ωt)dt = sin(ωt) ω cos(ωt)dt i 1 = sin ω i ( 1 cos ω ω 1 e iωt dt = e iωt iω II sposób: ˆf(ω) = 1 = e iω 1 = i(e iω 1) i ω

Transkrypt

1 Rachunk prawdopodobiństwa MAP6 Wydział Elktroniki, rok akad. 8/9, sm. ltni Wykładowca: dr hab. A. Jurlwicz Przykłady do listy : Transformata Fourira Przykłady do zadania. : Korzystając z dfinicji wyznaczyć transformatę Fourira podanj funkcji : dla t (a) dla pozostałych t Dla mamy ˆf() cos(t)dt i II sposób: ˆf() ˆf() dt sin(t)dt sin(t) it dt it i ( t i t t i t i cos(t) i( i ) t sin t sin ( ) cos i ) i ( cos R f^ () Im f^ () 5 5 π 5 5 widmo amplitudow π 5 5 widmo fazow

2 (b) dla t dla t < ˆf() cos(t)dt i T ( cos(t ) + sin(t )) sin(t)dt lim + T ( T ) (sin(t ) + cos(t )) i lim i T i + Granic równ są, bo T przy T, a rszta funkcji jst ograniczona. II sposób: ˆf() it dt lim T (+i) tt ( + i) t + i + i + R f^() 5 5 Im f^ () widmo amplitudow 5 5 widmo fazow Obl.pomocnicz: [ f cos(t) g cos(t)dt ] f sin(t) g cos(t) sin(t)dt [ f sin(t) g ] f cos(t) g cos(t) ( sin(t) + cos(t)dx) ( cos(t) + sin(t)) cos(t)dt + c, c R Zatm cos(t)dt ( cos(t) + sin(t)) + + C, C R Podobni sin(t)dt (sin(t) + cos(t)) + + C, C R

3 (c) dla t π dla t > π funkcja jst parzysta, zatm ˆf() π II sposób: ˆf() π ˆf() π dt π π it dt it i tπ cos(t)dt sin(t) iπ iπ t π i tπ sin(π) t sin(π) dla 6 R f^() (d) t 5 5 widmo amplitudow funkcja parzysta, zatm ˆf() 5 5 widmo fazow T ( cos(t ) + sin(t )) cos(t)dt lim + T (wykorzystaliśmy obl.pom. z przykładu (b)) R f^() 3

4 () sin t dla t π dla t > π funkcja niparzysta, zatm ˆf() i π sin t sin(t)dt ( i π sin(( )π) (cos(( )t) cos(( + )t)dt i z wzoru sin ax sin bx cos(a b)x cos(a + b)x ˆf() i π ( cos(t))dt iπ ˆf( ) i π (cos(t) )dt iπ ) sin(( + )π) dla + Im f^() widmo amplitudow 5 5 π/ 5 5 widmo fazow

5 Przykłady do zadania. : Korzystając z własności transformaty Fourira wyznaczyć ĝ() dla podanj funkcji g(t): 3 + sin t dla t π (a) g(t) dla t > π dla t π Mamy g(t) 3f (t)+f (t), gdzi f (t) dla t > π, f (t) to funkcj odpowidnio z przykładów. (c) i (). sin t dla t π dla t > π (b) g(t) Zatm ĝ() 3 ˆf () + ˆf () ( ) sin(( )π) sin(( + )π) sin(π) i dla 3 dla + + π dla iπ dla iπ dla dla t π dla t > π Mamy g(t) f(t ), gdzi dla t π dla t > π Zatm ĝ() ˆf() sin(π) i( ) i dla π i dla (c) g(t) 5 t (d) g(t) Mamy g(t) f(5t), gdzi t to funkcja z przykładu. (d). Zatm ĝ() ˆf ( ) 5 5 (t+) dla t dla t < 5 + to funkcja z przykładu. (c) dla t Mamy g(t) f((t + )), gdzi to funkcja z przykładu. (b). dla t < Rozpisując, g(t) h(t + ) dla h(t). Zatm ĝ() ĥ () i ˆf ( ) ( ) i + i i + 5

6 () g(t) Pokażmy najpirw, ż ( π ) dt ( ρ x dx dt π. y dy π, przy czym Z własności pochodnj w spktrum (ĝ) () i ĝ() t it dt i R (x+y) dxdy dt. π dϕ d dt () it dt i it przy czym it, gdyż it przy t ± Otrzymaliśmy zatm równani różniczkow z warunkim początkowym ĝ() Równoważni (ln ĝ()) ρ ρ dρ + i it dt (ĝ) () ĝ() () co wraz z war.pocz. daj ĝ() π t dla t (f) g(t) dla t < dt π. ln ĝ() + C, Mamy g(t) t, gdzi dla t dla t < to funkcja z przykładu.(b) Wtdy wimy, ż ( ˆf) () iĝ(). Stąd ĝ() i( ˆf) ( ) () i i ( i)( + i) + i (g) g(t) ( ) g(t) f (t), gdzi g(t) jst ciągła oraz g(t) dt Zatm ĝ() i ˆf() i π to funkcja z przykładu.(). ( + i) t dt lim T ( T + ) < 6

7 Przykłady do zadania.3 : Podać funkcję, jśli jj transformata Fourira ma postać ˆf(): (a) ˆf() + i Na podstawi przykładu.(b) wimy, ż dla g(t) + i ˆf() ĝ() Zatm g(t/) (b) ˆf() 8 sin(/) dla dla Wimy, ż dla g(t) ˆf() ( ) ĝ Zatm g(t) / dla t dla t < dla t dla t > dla t / dla t > / dla t dla t < dla prawi wszystkich t sin() mamy ĝ() dla dla dla prawi wszystkich t mamy ĝ() Przykład do zadania. : Korzystając z twirdznia o transformaci odwrotnj wyznaczyć transformatę Fourira funkcji g(t) t +. Z przykładu.(d) dla ciągłj funkcji t mamy ˆf() +. ˆf() d π <. Z twirdznia o transformaci odwrotnj mamy π + it d π t ˆf() it d, czyli Równoważni (zastępując litrę przz litrę t, zaś t przz ) otrzymujmy: t + it dt π. Stąd ĝ() π 7

8 Przykłady do zadania.5 : Wyznaczyć z dfinicji splot h(t) f g(t) dla podanych funkcji f i g. Wyznaczyć transformatę Fourira splotu h(t): (a) dla t dla pozostałych t, g(t) t g(t) f(x) f(x) f(x) t t <t< (t x) (x) (t x) (x) f(x) t h(t) f(x)dx t x dx ( ) dla t t ( + ) dla t ( t ) dla < t < (t x) dx dla t (x) dx dla t ( ) t (t x) dx + (x) dx t dla < t < ĥ() ˆf()ĝ() ( sin ( )) cos i dla, ĥ() 8 + 8

9 (b) g(t) dla t dla t < g(t) f(x) f(x) t> t< f(x) h(t) t f(x)g(t x)dx x (t x) dx dla t dla t < t dla t dla t < ĥ() ˆf()ĝ() ( ) + i Przykłady do zadania.6 : Wyznaczyć transformatę Fourira funkcji h(t) f g(t) dla podanych funkcji f i g. Na tj podstawi podać postać funkcji h(t): (a) g(t) ĥ() ˆf()ĝ() ( π / ) π Stąd h(t) π (t/ ) π / (b) g(t) + t ĥ() ˆf()ĝ() ( ) π π / (π ) Stąd h(t) π + t ( π ( ) / ) 9